然后从17世纪到18世纪，费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数论学家对二次剩余理论作了初步的研究，证明了一些定理并作出了一些相关的猜想，但首先对二次剩余进行有系统的研究的数学家是高斯。他在著作《算术研究》中首次引入了术语“二次剩余”与“二次非剩余”。

　　就是一个数的平方除以一个数得到的余数这样的问题。

　　后来应用到噪音工程学、密码学和大数分解上。

　　而想要了解二次剩余，就需要用二次互反律，二次互反也是经典数论中的定理之一。

　　在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程之整数解的存在性的定律。

　　高斯给了7个二次互反的证明，后来的之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。

　　至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。

　　二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。

　　二次互反律被称为“数论之酿母”，在数论中处于极高的地位。后来希尔伯特、塞尔等数学家将它推广到更一般的情形。